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基本定義
如果定義：
* f(t)\,是一個關于t\,的函數，使得當t<0\,時候，f(t)=0\,；
* s\, 是一個復變量；
* \mathcal{L} 是一個運算符號，它代表對其對象進行拉普拉斯積分\int_0^\infty e^{-st}\,dt；F(s)\,是f(t)\,的拉普拉斯變換結果。
則f(t)\,的拉普拉斯變換由下列式子給出：
F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt
[編輯] 雙邊拉普拉斯變換
除了普遍使用的單邊拉普拉斯變換外，雙邊拉普拉斯變換是將單邊變換積分范圍擴大為整個實數區域：
F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt
[編輯] 拉普拉斯逆變換
拉普拉斯逆變換，是已知F(s)\,，求解f(t)\,的過程。用符號 \mathcal{L}^{-1}\,表示。
拉普拉斯逆變換的公式是：
對于所有的t>0\,；
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds
c\,是收斂區間的橫座標值，是一個實常數且直線Re(s) = c處在F(s)的收斂域內。
[編輯] 拉普拉斯變換的存在性
主條目：拉普拉斯變換的存在性
關于一個函數f(t)\,的拉普拉斯變換，只有在拉普拉斯積分是收斂的情況下才存在。也就是說，f(t)\,必須是在對于t>0\,的每一個有限區間內都是片斷性連續的，且當t\,趨于無窮大的時候，f(t)\,是指數階地變化。
[編輯] 拉普拉斯變換的基本性質
* 線性疊加
\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}
* 微分
\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
* 時域
\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)
* 頻域
\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma
\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1
* 積分
\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}
* 初始值定理
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}
* 終值定理
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} ，所有極點都在左半復平面。
終值定理的實用性在于它能預見到系統的長期表現，且避免部分分式展開。如果函數的極點在右半平面，那么系統的終值是不定義的(例如：e^t\, 或 \sin(t)\,)。
* s 移動
\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)
* t 移動
\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)
注: u(t)\, 表示階躍函數.
* n次冪移動
\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]
* 乘積
\mathcal{L} \left\{f(t)g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ ，c\,是收斂區間的橫坐標值，是一個實常數且大于所有F(\sigma)\,的個別點的實部值。
* 卷積
\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}
[編輯] 變換簡表
原函數
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\} 轉換后函數
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} 收斂區域
\delta(t) \ 1 \ \mathrm{all} \ s \,
\delta(t-\tau) \ e^{-\tau s} \
u(t) \ { 1 \over s } s > 0 \,
u(t-\tau) \ { e^{-\tau s} \over s } s > 0 \,
t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} s > 0 \,
e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ { 1 \over s+\alpha } s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} s > 0\
\sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
{ t^n \over n! } \cdot u(t) { 1 \over s^{n+1} } s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} s > - \alpha \,
\sqrt[n]{t} \cdot u(t) s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) s > 0 \,
\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] s > 0 \,
J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}} s > 0 \,
(n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} s > | \omega | \,
Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}} s > 0 \,
K_0(\alpha t) \cdot u(t)
\mathrm{erf}(t) \cdot u(t) {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s} s > 0 \,
[編輯] 與其他變換的聯系
* 與傅里葉變換關系
令s = iω or s = 2πfi, 有：
\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrmxbjgcsqt.\\ \end{align}
* 與z變換的聯系
z 變換表達式為：
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}
其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比較兩者表達式有：
X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.
[編輯] 在工程學上的應用
應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表示，對于分析系統特性，系統穩定有著重大意義；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。 |
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發表于 2009-6-19 11:36:49
發表于 2009-6-19 12:00:12
